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ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 23 
Zweige der Function aus einem von ihnen erhalten werden. Die zu 
diesem oder einem noch grósseren Bereiche gehórige Gleichung (2) 
muss alsdann gerade vom Grade n sein. Jetzt können wir folgenden 
Satz beweisen, der uns nützlich sein wird in den Untersuchungen über 
Funetionen, die ein Additionstheorem besitzen. 
8. Wenn eine Function 2 = q (wu) n-deutig (also nicht 
unendlich vieldeutig) und ausserdem so beschaffen ist, 
dass sie in jedem beliebig grossen Bereiche: 
[ul < R' (37) 
einer. definierenden Gleichung von der Form und Beschaf- 
fenheit (2) geniigt, so kann der Grad i dieser Gleichung 
nie grösser als n sein, und die Function p(u) ist alsdann 
im eigentlichen Sinne des Wortes eine Function von alge- 
braischem Charakter (Def. A). 
Gäbe es nämlich eine definierende Gleichung (2), deren Grad A 
grösser als » wäre, so müsste die Function mindestens 2 eindeutige 
Zweige haben und also mehr als n-deutig sein, was der Annahme wi- 
derspricht. 
Es bleibt also nur noch übrig zu beweisen, dass die Function 
eine irreductible Gleichung 
PAR BAN (7) EE RP = 0 (98) 
befriedigt, wo die P(u) beständig convergierende gewöhnliche Potenz- 
reihen von « sind, was folgendermassen leicht gethan werden kann. 
Da für jedes hinlänglich grosse R’ die dem Bereiche (37) ent- 
sprechende Gleichung (2) alle Zweige von g(w) geben und also vom 
nien Grade sein muss, so ist jede symmetrische rationale Function von 
den Zweigen von q(w) im Bereiche (37) und folglich, da R’ oberhalb 
jeder beliebigen endlichen Zahl gewählt werden kann, überall im End- 
lichen von rationalem Charakter. (Sats $). 
Die Gleichung: 
BETEN 
die die Function q(w) überall im Endlichen genau definiert, lässt sich 
also auf die Gestalt: 
