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2 + Ret... + Ru) = 0 
bringen, wo die Alu) überall im Endlichen von rationalem Charakter 
und folglich als Quotienten beständig convergierender gewöhnlicher Po- 
tenzreihen von w darstellbar sind. Hieraus geht aber leicht hervor, 
dass die obige Gleichung auf die Form (38) reduciert werden kann, 
was offenbar eine irreductible Gleichung ergiebt. Also ist der Satz 
bewiesen. 
Man muss genau beachten, dass es unbedingt nothwendig ist 
darzuthun, dass 4 nicht mit R’ über alle Grenzen wächst; denn sonst gäbe 
es ja keine Gleichung von der Form und Beschaffenheit (58), wie es 
doch die Definition A fordert. 
II. 
Algebraische Functionen. 
Diese Functionen bilden nur einen speciellen Fall von den Fune- 
tionen, die im eigentlichen Sinne des Wortes von algebraischem Cha- 
rakter sind, und zwar denjenigen Fall, wo in der definierenden Gleich- 
ung (2) die ganzen Functionen p(u) auch rational sind. Bezeichnen wir 
hier die unabhängige Veränderliche mit x und den Grad der definie- 
renden Gleichung mit w, so bekommen wir aus A die Definition: 
2. Jede Function: 
z — (x) . (39) 
die einer irreductiblen Gleichung: 
no + Heer gt) a (40) 
genügt, in welcher g(x), ..., gu(x) ganze rationale Func- 
tionen von x sind, wird eine algebraische Function von x 
genannt. 
Die Eigenschaften dieser Functionen müssen also in einfacher 
und enger Beziehung zu den entsprechenden Eigenschaften der Func- 
