ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 25 
tionen von algebraischem Charakter stehen, und wir können uns daher 
hierüber ziemlieh kurz fassen. 
Beinahe alles, was wir von den algebraischen Funetionen wer- 
den nöthig haben zu wissen, ist im folgenden Satze enthalten. 
M. Jede algebraische Function von x hat zum Existenz- 
bereich die Gesammtheit aller Werthe von x (co eingeschlos- 
sen), besitzt genau so viele eindeutige Zweige, wie der 
Grad ihrer definierenden Gleichung angiebt, und hat im 
ganzen Existenzbereiche nur eine endliche Anzahl singu- 
lärer Stellen, die entweder ausserwesentlich sinauläre oder 
Stellen der Wiederholung sind. Diejenigen Zweige der 
Function, die an einer Stelle der Wiederholung x = x, 
einen und denselben, endlichen oder unendlichen, Werth 
2, annehmen, sind in einer gewissen Umgebung dieser 
Stelle durch eine Gleichung von der Form (u>v>1): 
Ec eue sey Al c ee 
bestimmt, wo f,...., fr gewöhnliche Potenzreihen von (x — x;) 
ohne constantes Glied bezeichnen, und x — x, durch = 
zu ersetzen ist, wenn die Stelle der Wiederholung im Un- 
endlichen liegt. 
Da die ganzen rationalen Functionen in den Ganzen enthalten 
sind, so ist der Inhalt dieses Satzes beinahe vollständig aus den Sätzen 
über Functionen von algebraischem Charakter zu entnehmen. Nur fol- 
gendes ist noch hinzuzufügen. 
. Dass auch x = © zum Existenzbereiche gehört, geht sogleich dar- 
aus hervor, dass man in der Gleichung (40) — da die g(x) ganze ra- 
l ue 
tionale Function sind — x = — setzen, dann mit einer passenden Potenz 
A 
von z' multiplieieren und somit eine Gleichung: 
/ , , exu , salty ea fh 
go) Foi@ je +... + Gulf) = 9 
A . . oo , 
von derselben Beschaffenheit wie (40) erhalten kann, wo offenbar x = 0 
zum Existenzbereiche der Function 2 gehórt. 
E 
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser, IV: Vol. 1, Impr. /e 1907. 
