26 M. Faux. 
Dass schliesslich singuläre Stellen nur in endlicher Anzahl vor- 
kommen kónnen, ist leicht zu ersehen. Denn die Gleichung: 
go(x) = 0 
kann nur von einer endlichen Anzahl m, verschiedener Werthe von x 
befriedigt werden; also hat die Function höchstens » im Endlichen 
liegende ausserwesentlich singuläre Stellen. Da ferner die Discrimi- 
nante y(x) der Gleichung (40) eine ganze rationale Function von z ist, 
so kann sie nur für eine endliche Anzahl »n, verschiedener Werthe von 
x verschwinden, und folglich hat die Function nur m, im Endlichen lie- 
gende Stellen der Wiederholung. Da schliesslich auch eine singuläre 
Stelle im Unendlichen liegen kann, so hat die Function höchstens 
Mo + m, + 1 singuläre Stellen. 
Der Satz ist also vollständig bewiesen. 
3t. Wenn eine algebraische Function von x im ganzen 
Existenzbereiche eindeutig ist, so ist sie eine rationale 
Function. 
Denn da die algebraische Function eindeutig ist, so ist ihre de- 
finierende Gleichung (40) nach dem Satze G vom ersten Grade und hat 
also die Gestalt: 
go(x)e rg) — 0 , 
woraus 
EA 
got) 
~ 
folgt. Also ist z eine rationale Function von x, w. z. b. w. 
