ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 29 
Die Gleichung (4), die der Annahme nach irreductibel ist, hat 
die Gestalt: 
Gola MET Ge MITTE cet galleg ME OF, (6) 
wo die g(x. y) ganze rationale Functionen von x und y sind. 
Bezeichnen wir mit D(x, y) die Discriminante dieser Gleichung 
(6). so ist dieselbe eine nicht identisch verschwindende ganze rationale 
Function der zwei Argumente x und y. 
ES DP » , a0 . E 5 D NS 
is bezeichne o, eine — nach einer unten zu gebenden Vor- 
schrift gewählte — reelle positive Zahl -— o,. und u eine in der Um- 
gebung 
TSV 
von a beliebig gewählte Stelle, die wir für die folgende Untersuchung 
fest halten. Die erste der Gleichungen (5) ergiebt alsdann einen be- 
stimmten endlichen Werth von x, und wenn wir in (6) diesen Werth 
von x festhalten, so kommen dort nur zwei Veränderliche y und 2 vor. 
Wenn nun — was offenbar angenommen werden darf — der 
genannte Werth von w so gewählt worden ist, dass keine der Gleich- 
ungen: 
ONC ia) o FINN DV (7) 
für jeden Werth von y befriedigt ist, so kann für den eben bestimmten 
Werth von x keine der Gleichungen (7) unendlich viele Wurzeln y haben. 
Da P,(v—a) und P,(v — 6) Elemente ein und derselben analy- 
tischen Function g(v) sind, so kann man im Innern des regulären Be- 
reiches dieser Function einen Theilbereich so absondern, dass P,(v — 6) 
in P,(v — a) übergeht, wenn man P,(v—b) längs irgend einem von 
v — b zu v = a in diesem Theilbereiche fortlaufenden Wege analytisch 
fortsetzt. Im Innern und — nóthigenfalls nach einer stets ausführ- 
baren beliebig kleinen Beschränkung des Bereiches — am Rande dieses 
Theilbereiches geht also aus dem Elemente P,(v — b) eine eindeutige 
reguläre Functionsbestimmung hervor, und diese, die wir für einen 
Augenblick mit g(v) bezeichnen wollen, fällt in der Umgebung von 
v — a mit P,(v — a) zusammen. 
Wenn y eine beliebige Wurzel der einen oder der anderen von 
den Gleichungen (7) bezeichnet, so kann die Gleichung 
qo) = y (5) 
