ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 31 
erfülen, was stets für Werthe von v erreichbar ist, wenn nur — wie 
offenbar vorausgesetzt werden darf — die Grösse o' von vorn herein 
kleiner als 29, angenommen worden ist. Im Bereiche 
|o —5| «20 01 0 (12) 
kann alsdann die in (11) vorkommende Reihe P, in eine gewöhnliche 
Potenzreihe von (v — db) umgebildet werden, wodurch (11) also ein 
Resultat: 
gc )(v — 6) für foo <o (13) 
ergiebt. 
Ersetzen wir also in (10) g(r) durch P,(v — b), so bekommen 
wir eine Gleichung von der Form: 
DE pony EcL (mE by APE) 
wo die Coefficienten p(v — 6) gewöhnliche Potenzreihen von (v — 5) 
sind, die für 
[v —b|«o (15) 
sicher eonvergieren, und den gemachten Feststellungen gemäss kann 
in dieser Gleichung (14) weder der Coefficient p,(v — b) noch ihre Dis- 
eriminante für einen im Bereiche: 
0«|v—b|«o (16) 
gelegenen Werth von v verschwinden. 
In einer Umgebung jedes in diesem Bereiche (16) gelegenen 
Werthes v, von v ergiebt daher die Gleichung (14) 4 von einander ver- 
schiedene Bestimmungen von z, und zwar alle als convergierende ge- 
wöhnliche Potenzreihen von (v — v). 
Da ferner in einer Umgebung von v = b die Gleichung (14) durch 
2= P(v — b) (17) 
befriedigt ist, so giebt es also eine im ganzen Bereiche (15) eindeutige 
und reguläre Functionsbestimmung 2, die überall daselbst der Gleich- 
ung (14) genügt und in der Nähe von v — b durch (17) dargestellt 
wird. Hieraus folgt aber. dass die Reihe P(r — bj im ganzen Be- 
