ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 33 
der Gleichung (10). Wenn v = a keine singuläre Stelle der Gleichung 
(10), d. h. keine Wurzel einer Gleichung (8) ist, so convergiert die 
Reihe P, (v — v, im ganzen Bereiche (19) und genügt daselbst der 
Gleichung (10). Unabhängig davon, ob v = a reguläre oder singuläre 
Stelle dieser Gleichung ist, kann man die Coefficienten derselben im 
ganzen Bereiche (19) in gewóhnliche Potenzreihen von (v — v,) entwic- 
keln und ersieht daraus, dass sie stets in diesem ganzen Bereiche 
unter Anderem eine analytische Functionsbestimmung ergiebt, die im 
Bereiche (20) mit (21) zusammenfällt. Werden schliesslich die Coeffi- 
cienten in der letzt benutzten Form der Gleichung (10) in Potenzreihen 
von (v — a) umgebildet, die ja im ganzen Bereiche: |v — «| < @ con- 
vergieren, so entsteht eine Gleichung, die im selben Bereiche auch noch 
eine analytische Bestimmung von 2 ergiebt, welche im gemeinsamen 
Theile der Bereiche: 
| <o und | v = Um | < @ 
mit der soeben im Bereiche (19) erhaltenen zusammenfällt. 
Da diese letzte Form von (10) das Resultat ist, welches aus (4) für 
b= pu. A, y PL a) 
hervorgeht, d. h. 
G(Pi(u— a), TP sane 2) m. (22) 
und diese Gleichung also von der aus 
|: 2 Cia 9 
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- - 
— dureh die oben als müglich erwiesene analytische Fortsetzung längs 
dem Wege von v =b wenigstens zu jeder Nähe von v = a — erhal- 
tenen Functionsbestimmung in der Umgebung von v = a befriedigt ist, 
utv 
so existiert also die Function al ue in einem Bereiche, wo # und v 
beide in einer gewissen Umgebung der Stelle u = a liegen. Wir haben 
also gefunden, dass man in der charakteristischen Gleichung: 
G ou) pw), 9 EN 2j -0, (1) 
Nova Acta Reg. Soe. Se. Ups. Ser, IV: Vol. 1, Impr. !?/a 1907. 9 
