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wenn 4 und v beide in einer gewissen Umgebung der Stelle u = a 
liegen, die für die Function eine reguläre Stelle ist, x (4) und g(r) als 
ein und demselben eindeutigen Zweige der Function angehörige Werthe 
annehmen darf, und dass es dann zunächst wenigstens einen Zweig 
: k 4 w -- v M 
der Function giebt, der an der Stelle —5 —— existiert und der charakte- 
ristischen Gleichung genügt. 
Da wir den wahren Existenzbereich einer analytischen Function, 
die eine charakteristische Gleichung besitzt, noch nicht nachgewiesen 
haben, so müssen wir jetzt, um die Untersuchung weiterführen zu kón- 
nen, der charakteristischen Gleichung noch eine Bedingung auferlegen, und 
MEE : : uv 2 
zwar diejenige dass für v =u — wobei also —5— den Werth wu erhält 
BR Vag heo 
— der Zweig ace mit dem Zweige q(u) zusammenfallen darf, oder 
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m. a. W. dass die Gleichung 
CHA OPS eI 5 
nachdem man y durch x ersetzt hat, auch wenn x willkürlich bleibt, unter 
Anderem von dem Werthe z = x befriedigt werden soll. Es soll also eine 
gewöhnliche Potenzreihe (iw) geben, für die es gilt, dass für alle Werthe- 
paare u,v, die in einer hinlänglich kleinen Umgebung der Stelle w =a 
liegen, die Gleichung: 
G (9 (u — a), (v — a), naso zh = 0 (23) 
besteht, und diese Yu — a) ist alsdann ein Element von der analy- 
tischen Function q(w), die die charakteristische Gleichung (1) besitzt. 
Nachdem dieses also festgestellt, kónnen wir weiter gehen und 
beweisen zunächst den Satz: 
Il. Wenn uw = a eine reguläre Stelle für die analytische 
Function p(u) ist, und wenn man 
u=atw , q(a-dw)-w(w) (24) 
setzt, so ist auch w(w) eine analytische Function von 
wu. Besitzt dann die Function y(u) eine charakteristische 
Gleichung, so hat auch w(w') genau dieselbe charakteristi- 
sche Gleichung, und für wu’) ist u = 0 eine reguláre 
