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der Stelle x” = 0 definieren, und zwar als einem und demselben ein- 
deutigen Zweige der Function angehórig. Da w' = 0 eine reguläre Stelle 
für die Function w(u') ist, so ist der Satz also bewiesen. 
IV, Wenn eine analytische Function q{u) eine charak- 
teristische Gleichung besitzt, so existiert sie in jedem end- 
lichen Bereiche: 
ul<R 
und ist überall daselbst von algebraischem Charakter. 
Aus dem Satze III leuchtet sogleich ein, dass wir uns hier auf 
den Fall beschränken dürfen, dass die Stelle # = 0 für die Function 
eine reguläre ist. Wir dürfen also mit der Annahme anfangen, dass 
in einer gewissen Umgebung: 
Jul <e (26) 
der Stelle: «= 0 ein eindeutiger Zweig von q(w) durch 
q(u) = P(u) = by bw... (27) 
gegeben ist, wo P(u) eine im Bereiche (26) convergierende gewöhnliche 
Potenzreihe von u bezeichnet. Wenn auch 
[ul «o 
ist, so haben wir also 
utv 
aly (w > Div), y 9 2) = 0. 
Hier dürfen wir v = 0 setzen, was ein Resultat: 
À u =. 
alyq), 3, 9(3)) - o (28) 
u 
ergiebt und eine wirkliche Abhängigkeit zwischen (uw) und 9 E) aus- 
drückt; denn da die Gleichung 
G(x, y, 2)=0 
