ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 937 
irreductibel ist, so kann ihre linke Seite keinen Factor (y — b,) ent- 
halten. 
Die Gleichung (28) bezeichnen wir einfacher mit 
Au). vw) - 9, (29) 
wo f(z, x) eine ganze rationale Function von 2 und x ist und 
qiu) = P(u), ols) E i. (30) 
im Bereiche (26). Der Satz ist alsdann bewiesen, wenn der folgende 
bewiesen wird. 
V. Wenn ein Element P(u) einer analytischen Function 
qu), die sich an der Stelle u = 0 regulär verhält, einer 
algebraischen Gleichung von der Form: 
u 
rU» (5). p(w) = 0 
Genüge leistet, und wenn R eine beliebig grosse, aber 
endliche reelle positive Zahl ist, so existiert die Function 
im ganzen bereiche: 
| 4 | lan 
und ist überall daselbst von algebraischem Char akter. 
Der Annahme nach wird nämlich in einem Bereiche: 'u <0 
das betreffende Element P(u) convergieren und der Gleichung: 
fo (2), pea) - o (31) 
genügen; und aus Gründen, die wir schon mehrmals erwähnt haben, 
dürfen wir annehmen, dass die Gleichung (31) irreductibel ist. 
im somit erhaltenen Resultate wie- 
5 
Da man in (91) statt u = 
u . 
derum statt u 5 setzen und dieses Verfahren beliebig oft wiederholen 
kann, so erhält man: 
