ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 39 
Da ferner die Gleichung (35) die Gestalt: 
Jo (BA T5 (Ga) ct ricas: Yılka) il) 
hat, wo die 7(r,) ganze rationale Funetionen von x, sind, so findet 
man also, da 
u 
Ya Xu) = Ve (y ea) = Pa (wu) 
ist, wo ps(«) eine gewöhnliche Potenzreihe von u bedeutet, die sogar 
im ganzen Bereiche: 
[ul <2°o (36) 
convergiert, dass die Gleichung: 
po(u) a? + pu(u)a^* H- LL. potu) 0 (37) 
zunächst im kleineren Bereiche: | u|<o durch 
x = P(u) (38) 
befriedigt wird. Da die Zahl wu beliebig gross sein kann, so ist es 
stets möglich, nachdem die Grösse R gewählt worden, u so gross an- 
zunehmen, dass 
20>R 
wird. Alsdann convergieren die Potenzreihen p(u) im ganzen Bereiche: 
lul<R. (39) 
Wenn jetzt — was hier erwartet werden kann — die Gleichung 
(37) im Bereiche (36) reductibel ist, so muss sie in irreductible Gleich- 
ungen zerlegbar sein, und eine dieser Gleichungen wird alsdann im 
Bereiche: | 4| Z durch (38) befriedigt. Also dürfen wir diese Gleich- 
ung statt (97) setzen, oder m. a. W. wir dürfen annehmen, dass (37) 
im Bereiche (36) irreductibel ist. 
Aus dem Satze 3 folgt dann, dass die Gleichung (37) im ganzen 
Bereiche (39) 2 eindeutige Zweige einer analytischen Function von u 
ergiebt, und dass diese Zweige im Bereiche (36) eine einzige eyklische 
Gruppe bilden. Da ferner, wie oben bewiesen ist, die Gleichung (37) 
