40 M. FALK, 
im kleineren Bereiche: |w|« e durch (38) befriedigt wird, so ist also 
P(u) in ihrem Convergenzbereiche ein Element von einem jener 4 ein- 
deutigen Zweige, und folglich ergiebt sich im Bereiche (36) aus dem 
Elemente (wv) eine 4-deutige Bestimmung der analytischen Function 
y(u). Diese Function existiert also im Bereiche (99). und aus der im 
Bereiche: 
lul<e 
bestehenden Gleichung (31) geht dann durch analytische Fortsetzungen 
hervor, dass die Function überall im Endlichen der Gleichung (29) 
genügt, w. z. b. w. 
Es ist hier wohl zu beachten, dass wir nicht schliessen dürfen, 
dass die Function qu) — blos weil sie die Bedingungen des Satzes 
erfüllt — im eigentlichen Sinne des Wortes von algebraischem Charak- 
ter sein muss; denn wir haben ja noeh nicht bewiesen, dass der Grad 
4 der Gleichung (37) nicht mit R über jede Grenze hinaus wach- 
sen, oder m. a. W. dass die Function g(w) nicht unendlich vieldeutig 
sein kann. 
Wir stellen jetzt analoge Untersuchungen über die Functionen 
an, die ein algebraisches Additionstheorem besitzen. 
Die Annahme, dass die Function diese Eigenschaft hat, erklären 
wir — ebenfalls nach dem Vorgange des Herrn PHRAGMEN — folgen- 
dermassen. Im regulären Bereiche der Function g (u) soll es drei Stellen: 
w-—a.uw-b. u=a+b 
geben von der Beschaffenheit, dass wenn 
Py(u= a). PEN) Pc ob) 
Werthe von 
qi) . gt). (uv) 
beziehungsweise in Bereichen von der Form: 
u ale, ^ RU ET a lu 90 030; 
bedeuten, die Gleichung (2), d. h. 
Gx, y, 2) - 0 (40) 
