ANALYTISCHE FUNCTIONEN. WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 41 
fär 
2—P(u—a), y=-Bw-b), 2=Putv—a—d) 
erfüllt ist, so lange die drei Potenzreihen convergieren. 
Da P,(v— a) und P,(v — b) Elemente einer und derselben analy- 
tischen Function bedeuten, so kann man auch hier — in ganz ana- 
loger Weise, wie wir es schon für Functionen, die mit einer charak- 
teristischen Gleichung versehen sind, gethan haben — beweisen, dass 
es in der Nähe der Stelle w= 2a einen Zweig g,(w) von q(w) giebt, 
welcher für 20 = «+ v der Gleichung (40) genügt, nachdem man darin 
x = P(u—a), y- B,(v— a) (41) 
gesetzt hat, d. h. dass für alle Werthepaare w, v in einem Bereiche: 
iss saco ÖT SÖK (42) 
wo o eine gewisse reelle positive Zahl ist, die Relation: 
GP. — a, Pile = (0) c qai us 2 = 0 (43) 
besteht. 
Da die oben angedeutete Untersuchung ergiebt, dass es für den 
Zweig g,(#) einen Bereich von den Form: 
lior 2a esta (44) 
giebt, worin entweder gar keine oder nur die einzige singuläre Stelle 
ir — 2a sich befinden kann, so kann man sicher in der Umgebung 
|u— a|<o eine Stelle u = a’ finden von der Beschaffenheit, dass 
u=a für q, (1) und w= 2a’ für p3 (ww) 
reguläre Stellen sind. In einem gewissen Bereiche: 
at LA 
a OL, |w — 2a 
\ 
hat man also: 
qu) = Pr(u — a) > quer) = Pile — 2) 
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser, IV: Vol. 1, Impr. 18/c 1907. 6 
