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Durch analytische Fortsetzungen kann man sodann aus (49) 
die allgemeine Gültigkeit des algebraischen Additionstheorems für die 
Funetion v darthun. 
VII. Wenn eine analytische Function q(u) cin algebrai- 
sches Additionstheorem hat, so existiert sie in jedem end- 
lichen Bereiche: 
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und ist überall daselbst von algebraischem Charakter. 
Dem Satze VI zufolge brauchen wir offenbar die Behauptung 
nur für den Fall zu beweisen, dass die Function q (u) sich an der Stelle 
u = 0 regulär verhält. Werden dann zunächst u und v durch die Be- 
dingungen: 
|"| «3e j [DE 9 © 
beschränkt, wo e den Convergenzradius derjenigen Potenzreihe Pr) 
bedeutet, vermittelst welcher der eindeutige Zweig y(w) in der Form: 
ple) = (uv) 
ausdrückbar ist, so hat man nach (49) 
I 1 
ul<F0> vI<ye 
G(P(u) , Pv) > pu t o) = 0 für 
Es ergiebt sich folglich, wenn v = u gesetzt wird, ein Resultat 
von der Gestalt: 
1 
(pin) pu) = 0 für |w| € 9 e 
oder 
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wo f(z, x) eine ganze rationale Function von x und 2 bedeutet, und 
hieraus folgt vermittelst des Satzes V sogleich das zu beweisende 
Resultat. 
