ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 45 
VII. Wenn eine mehrdeutige analytische Function ein 
algebraisches Additionstheorem : 
Gl lv) OT AKT ENG 
besitzt, so bleibt diese (Gleichung bestehen, wenn man 
q(u), ple), q(u-F v) durch irgend welche ihrer eindeu- 
tigen Zweige ersetzt'. 
Der Annahme nach besteht nämlich die Gleichung: 
G(x, y, 2) = 0 (50) 
zunächst für 
NU a i Olea EN ne Oel (oN) 
im ganzen Bereiche, wo diese Potenzreihen convergieren und gewisse 
eindeutige Zweige gl), g:(v), gafu + v) von der Function ausdrücken. 
Geht man von g,(w) aus, wo w in der Nähe von a liegt, so ist 
alsdann g(#) durch P,(lw— a) ausgedrückt, und durch analytische 
Fortsetzung dieser Reihe über den ganzen regulären Bereich der Func- 
tion y kann man jeden anderen eindeutigen Zweig erhalten, wenn nur 
der Weg, längs dessen die Fortsetzung geschieht, passend gewählt 
wird. Ebenfalls kann irgend ein beliebig ausgewählter eindeutiger 
Zweig in derselben Weise aus irgend einem anderen hergeleitet werden. 
Wie man sich von der Warheit des Satzes überzeugen kann, 
geht leicht aus der folgenden Ueberlegung hervor, worin wir beweisen 
wollen, dass man in der Gleichung (50), ohne die in (51) gegebene 
Bedeutung von x und y zu ändern, statt des Werthes (51) von z irgend 
einen anderen beliebig ausgewählten eindeutigen Zweig: 
z=P,u+v-a-b) (52) 
setzen darf. 
Unsrer Annahme nach giebt es nämlich im regulären Bereiche der 
Function g(w) einen Theilbereich von der Beschaffenheit, dass durch 
analytische  Fortsetzungen darin nicht nur die Reihe Pi(w — a) in 
P,(w — a — b), sondern auch die letztere Reihe in P, (w — q — b) um- 
gewandelt werden kann. Es muss daher eine endliche reelle positive 
! Diesen Satz und einen Beweis, der dem hier zu gebenden ziemlich ähnlich ist, 
findet man in der oben citierten Abhandlung des Herrn PHRAGMÉN. 
