46 M. Falk, 
Zahl R geben, für die dieser Theilbereich ganz im Innern des Be- 
reiches: 
|| R (53) 
enthalten ist, 
Da ferner die im Bereiche (53) aus dem Elemente P,(w — a) her- 
vorgehende Bestimmung von y(w) überall daselbst von algebraischem 
Charakter (Satz VII) ist, so hat sie im ganzen Bereiche (53) nur eine 
endliche Anzahl singulärer Stellen (Satz &)'. 
Durch Schnittlinien, die von jeder dieser singulären Stellen bis 
an den Rand des Bereiches (53) so gezogen werden, dass sie weder 
sich selbst noch einander treffen, machen wir diesen Bereich einfach 
zusammenhängend. Als in dem also erhaltenen geschnittenen Bereiche 
liegend können offenbar die drei Stellen w =a, w=b,w=a+tb an- 
genommen werden, da man ja die Schnittlinien noch der Bedingung 
unterwerfen kann, durch keine dieser Stellen gehen zu dürfen. 
Durch analytische Fortsetzung des Elementes P,(w — a — 6) längs 
einem gewissen im ungeschnittenen Bereiche (53) fortlaufenden ge- 
schlossenen Wege, der von w=a+tb ausgeht und zu dieser Stelle 
zurückkehrt, geht der Annahme nach dieses Element in P,(w = iti — b) 
über. Da ein eindeutiger Zweig nur dadurch in einen anderen über- 
gehen kann, dass man ihn über mindestens eine Schnittlinie analy- 
tisch fortsetzt, die von einer Verzweigungsstelle ausgeht, oder m. a. W. 
dass man die veränderliche Stelle w eine solche Stelle umkreisen lässt, 
so kann man den fraglichen Weg so umformen, dass er aus einer 
gewissen Anzahl in bestimmter Reihenfolge geordneter Schleifen zu- 
sammengesetzt wird, wo jede Schleife dadurch entsteht, dass w, von 
der Stelle w = a + b ausgehend, bis in beliebiger Nühe einer Verzweig- 
ungsstelle anlangt, dann diese Stelle längs einem beliebig kleinen Kreise 
umlüuft und schliesslich längs dem ersten Wege nach der Stelle 
w = a+ b zurückkehrt. 
Man sieht ohne Schwierigkeit ein, dass die Stellen u und v, 
ohne den durch die Schnittlinien hervorgebrachten einfach zusammen- 
hängenden Bereich zu verlassen, sich gleichzeitig so bewegen können, 
! Man beachte die Fussnote 2, Seite 30 und die Bemerkung vor dem Satze VI, 
woraus hervorgeht, dass man — nöthigenfalls nach Annahme einer Grösse b’ in der Nähe 
von 6 und nach analytischer Umbildung von P,(v — b) und P,(u + v — a — b) zu P,(v — b) 
und P'4(w- v— a — b) — annehmen darf, dass die Stelle w = a + b (bezw. w = a + b') 
eine reguläre Stelle für P, (w — a — b) (bezw. P (w —a-—b)) ist. 
