ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 47 
dass dadurch die durch w= «+ v definierte Grösse w eine beliebige 
von den oben genannten Schleifen ein Mal und vollständig durchläuft, 
wobei natürlich u und v von den Stellen «= da, v — b ausgehen und 
zu denselben zurückkehren sollen. Wenn alsdann 
2 = Yu + v — a — b) (54) 
für 
(Ha) So 2) rte 
der Gleichung: 
G(P,i(u — a) le ONES 2) = 0 (55) 
Genüge leistet, so bleibt diese Gleichung für die gleichzeitigen analy- 
tischen Fortsetzungen längs den oben genannten Wegen bestehen, und 
es ergiebt sich also, dass die Gleichung (55) auch durch 
z = Du + v — a — b) 
befriedigt wird, wo p(w — ab) das neue Element bezeichnet, worin 
Peu —a—b) durch analytische Fortsetzung längs der Schleife über- 
gegangen ist. 
Durch Wiederholung dieser Schlussweise kann offenbar das 
erzielte Resultat erhalten, und der Satz somit als vollständig bewiesen 
betrachtet werden. 
IX. Jede analytische Function q{u), die ein algebraisches 
Additionstheorem besitzt, ist endlich inehrdeutig (inclus. ein- 
deutig) und im eigentlichen Sinne des Wortes eine Func- 
tion von algebraischem Charakter. 
Denn dem Satze VIII gemäss wissen wir, dass die Gleichung: 
Gs n > Pv) > qu = v)) = 0 : (56) 
wo q, einen beliebig ausgewählten eindeutigen Zweig von der Func- 
tion q bezeichnet, durch jeden Werth «q(w tv). den die Function an 
der Stelle «+ v hat, befriedigt ist. Da aber diese Gleichung in Bezug 
auf g(u+r) von gegebenem endlichen Grade » ist, so kann also die 
