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Function q für keinen Werth des Argumentes mehr als » Werthe ha- 
ben und ist also höchstens ' n-deutig. 
Aus diesem Resultate und dem Inhalte des Satzes VII ergiebt 
sich dann nach dem Satze R, dass die Function im eigentlichen Sinne 
des Wortes von algebraischem Charakter ist. 
Also ist der wichtige Satz bewiesen. 
Bemerkung. Wenn man in der Gleichung (56) v = u annimmt, 
so ergiebt sich eine Gleichung: 
9 (s. (u) : qu) —-0, (57) 
die stets als irreductibel angenommen werden darf und eine wirkliche 
Abhängigkeit zwischen g,(u) und q(2w) enthält, aber in Bezug auf 
y(2u) von niedrigerem als dem n:ten Grade sein kann, wie es z. B. 
für die Function (w) bekanntlich der Fall ist; denn g(2u) ist ja als 
rationale Function von g(u) ausdrückbar. — Auch der Grad von (57) 
in Bezug auf g(2u) ist bisweilen höher als der Mehrdeutigkeitsgrad 
der Function q(u), bisweilen gleich diesem, wie man aus Beispielen 
ersehen kann. Es ist unnóthig, hierauf nüher einzugehen. 
Andererseits ist aber der Grad der Mehrdeutigkeit der Function 
q(u) genau dem Grade derjenigen irreductiblen Gleichung gleich, welche 
ausdrückt, dass q(u) im eigentlichen Sinne des Wortes von algebraischem 
Charakter ist. [Siehe den Beweis des Satzes §]. 
Jetzt gehen wir zu weiteren Untersuchungen über und beweisen 
zunächst den Satz: 
! Dass man hier nicht schliessen darf, dass die Function genau n-deutig sein muss, 
ist leicht zu ersehen. Wenn nämlich æ und y gegeben sind, so kann der eindeutige Zweig 
9, (x) für mehrere Werthe «, , #,... den Werth x, und gp, (v) für mehrere Werthe v, , v, , ... 
den Werth y erhalten. Alle Werthe, die plu - v) für «+0 =a) + vu erhält, sind dann 
Werthe von 2, die der Gleichung: G(r, y, 2) = O genügen. Also sind diese Werthe nicht 
mehr als » an der Zahl; da sie aber mehreren verschiedenen Werthen von u + v entsprechen 
können, so brauchen sie nur zu ergeben, dass die Function höchstens »-deutig ist. Als Bei- 
spiel hierfür kann die Function $2(w) dienen, die eindeutig ist, obgleich ihr algebraisches Ad- 
ditionstheorem vom 2:ten Grade in lu + v) ist. 
