ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 51 
z zi = tf ' t- a , n £j 
lesen na Dt FE dn CR EC ll ==) ur (64) 
cf 
wo alle F(£, 7, 5) ganze rationale Functionen ihrer drei Argumente 
sind, und F,($, 7, &) nicht identisch gleich Null ist, weil die Gleichung 
(62) als irreductibel anzunehmen ist. Lassen wir jetzt # und v dem 
absoluten Betrage nach so klein sein, dass nicht nur w und v, sondern 
auch wt v dem Convergenzbereiche der Potenzreihe (wv) angehören 
so dürfen wir v’ = 0 und folglich 
? 
uw =u +0 
annehmen. Hierdurch ergiebt sich also, wenn (64) berücksichtigt wird, 
aus (62) das Resultat: 
Fo P(r), Pl + v)) -. 
woraus man leicht folgert, dass die Function g(») ein algebraisches 
Additionstheorem besitzt, w. z. b. w. 
XI. Wenn eine analytische Function p(u) eine charak- 
teristische Gleichung hat, so besitzt sie auch ein algebrai- 
sches Additionstheorem. 
a) Wenn u=0 für g(u) eine reguläre Stelle ist, so folgt die 
Wahrheit des Satzes sogleich aus den Sätzen X und XI. [W. 85]. 
b) Ist dagegen u = 0 für g(u) eine singuläre Stelle, so führen wir 
den Beweis folgendermassen. 
Da die Function g(u), wie der Satz IV lehrt, in jedem endlichen 
Bereiche existiert und von algebraischem Charakter ist, so kann man 
stets eine endliche Zahl a so wählen, dass die Function sich an den 
beiden Stellen u = a und u = 2a regulär verhält. 
Die Function w(w), die wir durch 
pla + w) = w(w) (65) 
definieren, ist also analytisch, verhält sich an der Stelle w = 0 regulär 
und besitzt (Satz III) sogar dieselbe charakteristische Gleichung wie 
g(u). Nach dem Beweise im Falle a) hier oben hat also die Func- 
tion w(w) ein algebraisches Additionstheorem: 
