ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 29 
Wenn u und » in einer hinlänglich kleinen Umgebung der Stelle 
w = a beliebig gewählt werden, so darf man in (67) 
“=u-a,v=v—a 
und in (68) 
U =u+v— 2a 
setzen und erhält somit: 
F, (Pu = (1) ew Won e SU 2a) =0, 
F(P(u+v—= 20) DE NU (USE on a)\= Qu 
wo Sp(u + v-— 2a) in beiden Gleichungen wirklich vorkommt und selbst- 
verständlich dieselbe Bedeutung hat. Man kann also diese Grósse eli- 
minieren und erhält somit eine Relation von der Form: 
F.(9(u — Dine (EN va (u d v — a) ) =0, 
Few (u =) ar (cere UN ap DS a) =(), 
oder nach (65) 
Fg Qu) > pv) , au + v)) zm D 
die durch analytische Fortsetzungen offenbar beweist, dass die Func- 
tion g(w) auch im hier betrachteten Falle ein algebraisches Additions- 
theorem besitzt, w. z. b. w. 
Dass dieser Satz auch umgekehrt werden kann, wird im folgen- 
den Satze bewiesen: 
XII Wenn eine analytische Function q{u) cin algebrai- 
sches Additionstheorem hat, so besitzt sie auch eine charak- 
teristische Gleichung. 
Der Annahme nach genügt g(u) einer irreductiblen algebrai- 
schen Gleichung: 
ale) , ov’) , pu + y -0, (69) 
