ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 55 
XVI. Jede eindeutige analytische Function qu) , die eine 
charakteristische Gleichung oder ein algebraisches Additons- 
theorem besitzt, ist überall im Endlichen von rationalem 
Charakter [Satz ©}. 
Es erübrigt noch einige Sätze auseinanderzusetzen, die nebst 
der Function q{u) selbst auch noch ihre erste Ableitung enthalten. 
XVII. Wenn eine analytische Function plu) ein alge- 
braisches Addıtionstheorem hat, so besteht zwischen yu), 
q (v) und deren ersten Ableitungen gu) , yp (v) eine irre- 
ductible algebraische Gleichung : 
(We). — (m 
wo g(§, 7, §, n) eine ganze rationale Function ihrer 
vier Argumente ist, deren Coefficienten von u und v un- 
abhängig sind [W. 85]. 
Führen wir in dem für g(#) geltenden algebraisehen Additions- 
theoreme die Bezeichnungen: 
qi = x > pr)=y, glut+v) =2 (73) 
ein, so geht eine Gleichung hervor, die wir in der Form: 
F=0 (74) 
sehreiben kónnen, wo 
ct (m suy emen acp pov (75) 
istud. HE oon „ (m Allgemeinen gebrochene) rationale Functio- 
nen von æ und 7 DET von denen einige (aber nicht alle) von x 
und y unabhängig sein können. 
Werden u und v auf solche Bereiche beschränkt, dass für die 
Function g(w) nicht nur w=wu und w — v, sondern auch w=u+v 
reguläre Stellen sind, so dürfen wir die Gleichung (74) partiell in Bezug 
auf u und v differentiieren und haben ausserdem 
02 _ 92 
ou 90° 
vermittelst welcher Relation wir aus dem Differentiationsresultate: 
