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die der Annahme nach nicht zerlegbar ist in Gleichungen von dersel- 
ben Beschaffenheit. In entwickelter Form kann (78) geschrieben werden: 
F0 CM EAU UN uc SEE UE (50) 
wo also die linke Seite eine ganze rationale Function von x und z' 
ist, deren Coefficienten ganze rationale Funetionen von y und y’ sind. 
Es ist natürlich auch hier angenommen, dass g(x, y, x', y) 
nicht gleich Null ist unabhängig von den Werthen von #, y, x’, y. 
Wenn die linke Seite von (80) nur ein einziges Glied enthalten 
könnte, so müsste, da die Gleichung irreductibel ist, dieses Glied f, sein, 
so dass also (80) die Form: 
TAGES ee iU 
haben und daher das Resultat: 
if (ov) : vo) = 0 und folglich % (vi) À a0) = 0 
ergeben würde, was ja eine Beziehung (79) ist. 
Wenn dagegen (80) mehrere Glieder wirklich enthält, so muss 
es in (SO) mindestens zwei f(y, y) geben, die nicht gleich Null sind 
unabhängig von den Werthen von y und y. Da diese Functionen 
keinen gemeinsamen Theiler haben, so können sie entweder für kein 
Werthepaar y, y' oder nur für eine endliche Anzahl solcher Werthe- 
paare gleichzeitig verschwinden, und folglich kann man stets im regu- 
lären Bereiche der Function g(v) einen Werth v = v, so wählen, dass 
die Functionen f(y, y') für diesen Werth nicht gleichzeitig verschwin- 
den. Für v = v, nimmt dann die Gleichung (72) die Gestalt (79) an, 
w. Z. b. w. 
Aus XVII und XVIII ergiebt sich unmittelbar der Satz: 
XIX. Wenn eine analytische Function q{u) ein algebrar- 
sches Additionstheorem besitzt, so besteht zwischen der 
Function und ihrer ersten Äbleitung y'(u) eine algebraische 
Gleichung, deren Coefficienten von dem Argumente u nicht 
abhängen |W. 85]. 
