ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 59 
Durch, mehrmalige Differentiation und Elimination leitet man aus 
(79) ohne Schwierigkeit den Satz her: 
XX. Wenn eine analytische Function q(u) die Eigen- 
schaft besitzt, dass zwischen der Function und ıhrer ersten 
Ableitung eine algebraische Gleichung besteht, deren Coef- 
ficienten von dem Argumente unabhängig sind, so kann 
jede höhere Ableitung von q(u) als rationale Function von 
q (u) und q'{u) ausgedrückt werden |W. 85]. 
Die Untersuchungen, die wir bis jetzt angestellt haben, sind so all- 
gemein geführt, dass sie auch den Fall umfassen, wo u = 0 keme reguläre 
Stelle für die Function ist. Auch die folgenden Untersuchungen sollen 
eben so allgemein gehalten werden und folglich diesen Fall mit um- 
fassen, was wir besonders hinsichtlich der nächstfolgenden Sätze her- 
vorheben wollen. Wenn wir uns nämlich in den Sätzen, die von dem 
algebraischen Additionstheoreme handeln, mit der Annahme begnügt 
hätten, dass «= 0 für die Function eine reguläre Stelle ist, so würden 
wir diese Sätze nicht einmal auf die Function g(u) anwenden dürfen. 
XXL Wenn eine analytische Function q(u) ein alge- 
braisches Additionstheorem : 
eee de ee UE Ne) a Oe TES 
besitzt, wo 
x = glu) ‚,y=yl) > 2=plu+v) , (73) 
und wenn die aus (T4) hergeleitete Gleichung: 
à F, / 0 F, j nl ( 1 ni / 
(= un y) ZUR s] Sp d IR x © 
eine z wirklich enthaltende Gleichung ergiebt, so besteht 
zwischen q(u-- v), q(u), gle), pin), p (v) eine alge- 
braische Gleichung: 
G (pu + v) > wu) > vC) > 9), v) 7 9. (GU 
