ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 61 
Zu diesem Satze ist noch Folgendes zu bemerken. Da die Glei- 
chung (78) im Allgemeinen nur die Existenz einer den Gleichungen (74) 
und (77) gemeinsamen Wurzel sichert, so wird also im Allgemeinen 
die Gleichung (82) in Bezug auf 2 vom ersten Grade sein. Dieser Um- 
stand wurde von WEIERSTRASS so ausgesprochen, dass er den Fall, wo 
die Gleichung (81) die Form: 
ylurv)= Rig (u) qu) > p (u) vo) (84) 
hat, wobei unter R(x, y. x, y) eine rationale Function ihrer vier Argu- 
mente verstanden wird, als den »gewóhnlichen» bezeichnete. 
Natürlich ist hiermit die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass 
die Gleichung (82) von hóherem als dem ersten Grade in Bezug auf 2 
sein kann. Ausserdem verdient es bemerkt zu werden, dass die Glei- 
chung (82), so lange x, y, x, y nur der einzigen Bedingung (78)' 
unterworfen werden, irreductibel, wenn aber die Bedingung (78) durch 
die speciellere (83) ersetzt wird, reductibel sein kann. Im letzteren Falle 
würde dann die Gleichung (81) reductibel sein; wenn dies aber zutrifft, 
soll stets angenommen werden, dass sie durch eine von der Function 
y(u) wirklich befriedigte irreductible Gleichung, die stets aus (81) zu 
erhalten ist, ersetzt worden ist. Infolge dessen nehmen wir ein für 
allemal an, dass die Gleichung (S81) irreductibel ist. 
Das folgende einfache Beispiel wird diese Einzelnheiten klar zum 
Vorschein kommen lassen. 
Die Function: 
q (u) = sin u 
hat das algebraische Additionstheorem (74): 
Se PT ese erra e cae (74) 
und ergiebt also als Gleichung (77): 
9 2 4 Der Mito 2 2 n A 
ja = Am yy —(-—2]y)22 t mM es e E LE e VV TV) 
Eliminiert man 2 zwischen diesen Gleichungen, nachdem die er- 
oO 
stere mit der zweiten Potenz des in (77) vorkommenden Coefficienten 
von 2 multipliciert worden ist, so ergiebt sich ein Resultat, das sich, 
