ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 63 
welche, mit (59) verglichen, zeigt, dass (ö) genau diejenigen Wurzeln 
ergiebt, die den Gleichungen (74) und (77) gemein sind, wenn die Be- 
dingung (78) besteht. Da diese Bedingung allein nieht { als Quadrat 
. . . rà . B > 
einer rationalen Function von x, y, x, y ergiebt, so ist alsdann die 
Gleichung (£) irreduetibel. Wenn dagegen die Bedingung (78) durch 
die beiden Gleichungen (83) ersetzt wird, so wird (5) reductibel, und zwar 
in zwei irreductible Gleichungen zerlegbar. Um die eine der Glei- 
chungen (83) zu erhalten, nehmen wir in (78) v = 0, d. h. y = 0, y' = 1, 
was 1 — 2? = z^ ergiebt. Die Gleichungen (83) werden also hier 
Te à (= yf = ye (S3) 
und gehen offenbar aus (e) für {= 1 hervor. Die Gleichung (£) wird 
also, wenn die Gleichungen (83) gelten, die Gestalt: 
je c (a + ay) }2 + ya’ ty) | = 0 
annehmen, und hieraus geht schliesslich auch hervor, dass als die 
irreductible Gleichung (81) in unsrem Beispiele die Gleichung: 
BR LE 
d. h. die Relation: 
q (u + v) = gp (u) p (v) + g (v) pr (u) 
erhalten wird, die ja bekanntlich für g (u) = sin u gilt, 
Im Satze XXI war unter Anderem angenommen, dass die Glei- 
chung (77) keine von 2 freie Gleichung ergab. Wenn im Gegentheil 
diese Gleichung eine Relation ergiebt, die 2 nicht enthält, so kann man 
allerdings vermittelst dieser Relation keine Gleichung (81) erhalten, deren 
Grad in Bezug auf g(w-Fv) niedriger als m ist; aber es ist natürlich 
stets möglich, vermittelst der Bedingungen (85), d. h. vermittelst (79) 
das algebraische Additionstheorem selbst auf die Form (81) zu bringen, 
was jedoch in diesem Falle stets eine irreductible Gleichung ergiebt, 
deren Grad in Bezug auf q (uw + v) nie niedriger als m sein kann. Oder: 
man kann die Möglichkeit einräumen, dass in der Gleichung (81) die 
Ableitungen y'(u) , q (v) nicht nothwendig explicite vorzukommen brau- 
chen, und dass ihr Grad in Bezug auf g (u + v) nicht niedriger als m 
zu sein braucht. Dies lüuft offenbar darauf hinaus, dass man n dem 
Falle, wo aus dem algebraischen Additionstheorem keine Gleichung (81), 
