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deren Grad in Bezug auf & (u + v) niedriger als m ist, erhalten wer- 
den kann. das algebraische Additionstheorem selbst als Gleichung (81) 
auffasst Von diesem erweiterten Gesichtspunkte aus betrachtet lässt 
sich der Satz XXI ganz allgemein fassen, und zwar folgendermassen: 
XXI, a. Jede analytische Function yp (uj, die ein alge- 
braisches Additionstheorem hat, besitzt auch ein »abgelei- 
teles» Additionstheorem, 
wo wir uns der Kürze halber erlaubt haben, eine Gleichung von der 
Form (81) und von der oben näher besprochenen Beschaffenheit mit 
dem Namen »abgeleitetes Additionstheorem» zu belegen." 
Diejenigen ‘analytischen Functionen, welche ein algebraisches 
Additionstheorem besitzen, zerfallen in zwei Klassen, je nachdem das 
abgeleitete Additionstheorem in Bezug auf g(w-Fv) a) vom ersten, 0) 
von höherem als dem ersten Grade ist. 
Da von dem abgeleiteten Additionstheorem in Bezug auf die 
Werthe von q(4-- v) dasselbe gilt, was im Satze VIII von dem alge- 
braischen bewiesen ist, so ergiebt sich aus den Sätzen IX und XVI 
sogleich das Resultat: 
XXI. Wenn von einer analytischen Function & (u), die 
ein algebraisches Additionstheorem besitzt, gilt, dass ihr 
abgeleitetes Additionstheorem in Bezug auf p(u + v) vom 
ersten Grade ist, so ist die Funetion eindeutig und zwar 
hat sie dann überall im Endlichen den Charakter einer 
rationalen Function ihres Argumentes u [W. 85]. 
Da wir — wie in der Vorbemerkung gesagt ist — die Unter- 
suchung derjenigen mit einem algebraischen Additionstheoreme ver- 
sehenen eindeutigen analytischen Functionen, die überall im Endlichen 
von rationalem Charakter sind, als vollständig erledigt vorausgesetzt 
haben, und wenn wir ausserdem den Satz XVI zu Hilfe nehmen, so 
ist auch die folgende Umkehrung des Satzes XXI als schon bewiesen 
zu betrachten: 
Bisweilen wird auch dieses Additionstheorem »algebraisch» genannt [Siehe z. B. 
Theorie der Abel’schen Functionen von Dr. H. Stahl, Leipzig 1896, Seite 5], was jedoch 
kaum zu empfehlen ist, da es die beiden Begriffe nicht streng unterscheidet. 
