ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 65 
XXI. Wenn eine eindeutige analytische Function q (u) 
ein algebraisches Additionstheorem besitzt, so hat sie die 
Eigenschaft, dass q (wu + v) rational ausdrückbar ist durch 
q (Qn). Pr), q^ (u), y (v), oder m. a. W. dass ihr abge- 
leitetes Additionstheorem in Bezug auf q (wu + v) vom er- 
sten Grade ist. 
Die zwei letzten Sütze enthalten offenbar das Resultat, dass die 
Gesammtheit aller mit einem algebraischen Additionstheoreme versehe- 
nen analytischen Functionen (u), deren abgeleitetes Additionstheorem 
in Bezug auf (u +rv) vom ersten Grade ist, genau zusammenfällt mit 
der Gesammtheit aller mit einem algebraischen Additionstheoreme ver- 
sehenen analytischen Functionen, die eindeutig sind. Hiermit ist die 
obige Klasse a) erledigt, und hinsichtlich der Klasse b) folgt ohne Wei- 
teres aus dem oben Gesagten die Wahrheit des Satzes: 
XXIV. Die Gesammtheit aller analytischen Functionen 
q (u), die ein algebraisches Additionstheorem besitzen und 
deren abgeleitetes Additionstheorem in Bezug auf q (u + v) 
von höherem als dem ersten Grade ist, fällt genau mit 
der Gesammtheit derjenigen mit einem algebraischen Ad- 
ditionstheoreme versehenen analytischen Functionen, die 
mehrdeutig sind, zusammen. Diese Functionen sind stets 
endlich mehrdeutig und im eigentlichen Sinne des Wortes 
von algebraischem Charakter. 
Als Beispiel einer solchen Function kann die zweideutige Function: 
q (u) = Y cos u 
dienen, die das algebraische Additionstheorem: 
Er m PANT Bell) 
und das abgeleitete Additionstheorem: 
e—3yp--4zyx y = 0 
hat. wo wir die Ausdrücke: 
28 = op (Uy — GW) = CU +) (73) 
einzuführen haben. 
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. IV: Vol. 1, Impr. ?*/s 1907. 9 
