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XXV. Wenn eine r-deutige analytische Function q (u) 
ein algebraisches Additionstheorem besitzt, so ist jede sym- 
metrische rationale Function ihrer r eindeutigen Zweige: 
qu) s. quu) (55) 
eine eindeutige mit algebraischem Additionstheorem versehene 
Function von u, die überall im Endlichen von rationalem 
Charakter ist. 
Der Annahme nach ist q (u) im eigentlichen Sinne des Wortes 
eine Function von algebraischem Charakter (Satz IX), und ihre r ein- 
deutigen Zweige (85) bilden eine einzige cyklische Gruppe (Satz S). 
Bezeichnen wir mit 
g v, (e Sea: (u) ) 
eine beliebige symmetrische rationale Function der eindeutigen Zweige 
(85), so ist dieselbe eine eindeutige Function von w, die überall im End- 
lichen von rationalem Charakter ist (Satz $). Wird diese Function 
durch R(u) bezeichnet, so haben wir also 
Rw) = g (gr (9)... (0) - (86) 
Da q(w) ein algebraisches Additionstheorem besitzt, so haben 
wir also nach dem Satze VIII: 
G (y; (n a. gs (u + v)) =0 (ST) 
wo G(x, y, 2) eine ganze rationale Function von x, y, 2 ist, und 4, 
u,» unabhängig von einander alle Werthe 1, 2,..., 7 annehmen 
dürfen. 
Also haben wir zunüchst nach (86) und (57): 
la Ose O) = CI neu) mee creer 2) ; 
G (pa (2) , qu fe) gala +9) = 0, 
Gp (w) > Qul) quit + v)) ES 
