68 M. Falk, 
Da dem Satze XVI gemäss jede eindeutige analytische Function, 
die ein algebraisches Additionstheorem besitzt, überall im Endlichen von 
rationalem Charakter ist, und da wir die Sätze über diejenigen mit 
einem algebraischen Additionstheoreme versehenen eindeutigen analy- 
tischen Functionen, die überall im Endliehen von rationalem Charak- 
ter sind, als vollständig erledigt angenommen haben, so ist also fol- 
gender Satz als schon bekannt und bewiesen zu betrachten: 
XXVI. Die nothwendige und ausreichende Bedingung 
dafür, dass eine eindeutige analytische Function p(u) ein 
algebraisches Additionstheorem besitzt, besteht darin, dass 
diese Function eine rationale Function ist entweder 
a) von dem Argumente u „ oder 
umi 
b) von einer Exponentialfunction e" , oder 
c) von einer doppelt periodischen Function go(u) und von 
ihrer ersten Ableitung yy’ (u)’. 
Jetzt sind wir im Stande, den folgenden allgemeinen Satz zu 
beweisen: 
XXVIL Die nothwendige und ausreichende Bedingung 
dafür, dass eine analytische Function p(u) ein algebrar- 
sches  Additionstheorem besitzt, ist, dass diese Function 
eine algebraische Function ist entweder 
a) von dem Argumente u, oder 
umı 
b) von einer Exponentialfunction e" , oder 
c) von einer doppelt periodischen Function go(u) und von 
ihrer ersten Ableitung go’ (u)”. 
Dem vorigen Satze zufolge brauchen wir nur den Fall zu be- 
handeln, dass die Function q(w) mehrdeutig ist. Die Bedingung ist zu- 
nächst notluvendig; denn wenn die analytische Function g(u) ein alge- 
braisches Additionstheorem hat, so ist sie von algebraischem Charakter 
(im eigentlichen Sinne des Wortes). Ihr Mehrdeutigkeitsgrad sei mit 
r, und ihre r eindeutigen Zweige, die offenbar eine einzige cyklische 
Gruppe bilden, seien mit gilt) ,...,g,(u) bezeichnet. Alsdann ist die 
Function durch die Gleichung: 
1 Schwarz, Formeln und Lehrsätze etc., Art. 2. 
? [bidem, Art. 1. 
