ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 69 
ip (u) — qu (u) AER rl) = gt = 0 
genau definiert, die auf die Form: 
d ctv gis (a). segre (91) 
gebracht werden kann, wo die Coefficienten g,,.,9, symmetrische ganze 
rationale Funetionen von qi(u)...,q,(4) und folglich (Satz 5), als Func- 
tionen von w betrachtet, überall im Endlichen von rationalem Charak- 
ter sind. Dem Satze XXV zufolge haben sie auch algebraisches Ad- 
ditionstheorem. Der Gleichung (91) geben wir daher lieber die Form: 
PU) Eine Wit. + ho) SVG (92) 
wo also 
Ly (u) = g; (gt) PSE y.() (93) 
und 
le. R;(v) , Rlu+ D) -0. 
Jetzt müssen wir folgende Fülle unterscheiden. 
a) Wenn die Function q(w) nicht periodisch ist. Die Relationen 
(93) zeigen alsdann, dass auch die Functionen R, (1) nicht periodisch 
sind. Da sie aber mit algebraischem Additionstheorem versehen und 
überall im Endlichen von rationalem Charakter sind, so sind sie ratio- 
nale Functionen von u (Satz XXVL a). Also hat die Gleichung (92) 
jetzt die in XXVII a) angegebene Form. 
b) Wenn dagegen q(w) periodisch ist, so folgt aus;(93), dass 
jede Periode von g(u) auch Periode von den Functionen R (u) ist. 
b, 1) Wenn dann zunächst q(u) einfach periodisch ist, so sind 
auch die R,(u) einfach periodisch, und da sie eindeutig und analytisch 
sind und algebraisches Additionstheorem besitzen, so sind sie rationale 
nt 
Functionen von einer Exponentialfunetion e " (Satz XXVI, b), und die 
Gleichung (92) hat die in XXVII, 5b) angegebene Form. 
b, 2) Ist schliesslich g(u) mehrfach periodisch, so sind auch nach 
(93) die R,(u) mehrfach periodisch. Da sie aber eindeutig und analy- 
tisch sind, so können sie nicht mehr als doppelt periodisch sein. Es 
giebt also ein Periodenpaar von y(u) von der Beschaffenheit, dass (Satz 
XXVL c), die R,(u) rationale Functionen sind von derjenigen Function 
