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mu), für die dieses Periodenpaar ein primitives ist, und von ihrer ersten 
Ableitung $'(w) Also hat jetzt die Gleichung (92) die in XXVII, c) an- 
gegebene Form 
Die Bedingung ist also als nothwendig erwiesen. Dass sie aber 
auch ausreichend ist, geht leicht folgendermassen hervor. [W. 85]. 
Da es eine einfach periodische und eine nicht periodische Ausartung 
von der doppelt periodischen Function gl) giebt, vermittelst deren die 
Fällen a) und 5) in den Fall c) mit eingeschlossen werden, so lässt 
sieh der Beweis folgendermassen mit einem Male führen. 
Nehmen wir nämlich an, dass q(u) eine algebraische Function 
von (4) und @'(u) ist, d. h. dass eine Gleichung: 
G (ot) > jiu). e'(u)) x 
besteht, wo @ eine ganze rationale Function von p, f und g’ ist. Fer- 
ner besteht bekanntlich zwischen y(w) und p'(u) die algebraische Gleich- 
ung: 
12 = 3 5 A 
9° (u) = 49 (v) — Eu) — 9s > 
und folglich ergeben diese Gleichungen eine Relation: 
alpin) : ptu) =0, 
wo 6G, eine ganze rationale Function von q und 9 ist. 
Es bestehen also Gleichungen von der Form: 
GG, (vi) , e(u)) = (|) . ale) 3 MO) =0. Gi gt +9), (ws: i) =0, 
welche, mit dem für g(u) geltenden algebraischen Additionstheorem: 
vetu ar DO) C) e pto) = 0 
vereinigt, ein Resultat von der Gestalt: 
Gy (1) , P(r), put 2) = 0 
e 
‘geben, welches die Behauptung beweist. 
Bemerkung. Aus dem algebraischen Additionstheoreme haben 
wir das Bestehen sowohl vom abgeleiteten Additionstheoreme wie von 
einer algebraischen Gleichung zwischen der Function und ihrer ersten 
