ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÁDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 71 
Ableitung hergeleitet. Umgekehrt lässt sich auch beweisen, dass eine 
analytische Function ein algebraisches Additionstheorem besitzt, jedesmal 
wenn sie mit einem abgeleiteten Additionstheorem versehen ist, und zugleich 
eine algebraische Gleichung zwischen ihr und ihrer ersten Ableitung besteht. 
Dies geht nämlich sogleich hervor, wenn man zwischen den Gleich- 
ungen (82) und (83) die Grössen x' und y’ eliminiert. 
Dagegen lässt sich bloss aus dem Bestehen des abgeleiteten Ad- 
ditionstheoremes — nämlich wenn dieses g'(w) und g’(v) wirklich ent- 
hält — die Geltung des algebraischen nicht folgern; denn aus der blos- 
sen Gleichung (81) kann man keine Gleichung von der Form (79) her- 
leiten. Was man aber hier anstatt einer Gleichung von der Form (79) 
wirklich erhalten kann, wollen wir jetzt erörtern, wobei wir uns jedoch 
auf die Annahme beschränken, dass das abgeleitete Additionstheorem 
vom ersten Grade in Bezug auf q{u + v) ist, obgleich die Untersuchung 
auch im allgemeinen Falle mit denselben Hilfsmitteln ausführbar ist. - 
Es sei also hier angenommen, dass eine analytische Function 
q{u) einer Gleichung: 
p{u + v) = R(q(u) > or), p'(w), yo) (84) 
genügt, welche Annahme analogerweise erklürt sein soll wie bei dem 
algebraischen Additionstheoreme und auch hier' den Schluss zu ziehen 
erlaubt, dass es eine endliche Zahl a giebt von der Beschaffenheit, dass 
die Stellen u = a und w= 2a regulär sind für die Function g(w), und 
dass es zwei Potenzreihen: 
P,(u— a) und 3s (« — 2a) 
giebt, welche Elemente der Function g(»4) sind und die Eigenschaft be- 
sitzen, dass (84) durch 
g(u) Pil —a), pv) = S(v —a), p(utv) = (vc -v—2a) (94) 
befriedigt wird, so lange u und v diese Reihen convergent machen, was 
sicher der Fall sein wird, wenn « und v einer Bedingung von der 
Form: 
ES vno an ess o. (95) 
unterworfen werden, wo g eine passend gewählte reelle positive Zahl ist. 
! Man vergleiche die Untersuchung vor dem Satze VI. 
