ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÅDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 79 
unabhängig von æ und x’ verschwindet, eine Relation von der 
Form: 
x"=R(x, x), d. h. g'(u) = R (y (0) y'() (98) 
ergiebt. Hiermit ist also der letzte Theil des Satzes bewiesen. 
Die erste der Gleichungen (97) lässt sich vermittelst (98) auf 
die Form: 
D , 2 , 
2 -—R(z,y,2,), 
g'{u + v) = Ri gl), q (v) . Pu), vo) (99) 
bringen, und somit ist der Satz vollständig bewiesen, wenn man nur 
beachtet, dass, wie gewöhnlich, von dem Giiltigkeitsbereich der Rela- 
tionen (98) und (99) durch analytische Fortsetzung bewiesen werden 
kann, dass er mit dem Existenzbereiche der Function q(w) zusam- 
menfällt. 
Setzen wir 
g(atw) = wu) , (100) 
so ist w'-— 0 eine reguläre Stelle für die Function w(u'). In der Umge- 
bung: | w| «9 dieser Stelle ist nach (94) ein Element von v(w' durch 
yir) = Pi Qr) (101) 
gegeben. Wir wollen jetzt beweisen, dass die Function y(u') ein abge- 
leitetes Additionstheorem besitzt, und dass darin, wenn ul und v' im Be- 
reiche : 
1 1 : 
|| ve, |»'|« 5e (102) 
gelegen sind, w(u') , w(o) , w(u' + v) beziehungsweise durch 9v (u') , P(e’), 
9 (u^ + v') ersetzt werden dürfen. 
Denn im Bereiche (95) haben wir nach (84), (94) und (99) die 
Identitäten: 
Blu + v — 2a) = R(Pılu—a) , Po — a) > Pılu — a); Pi(o — a), | 
(103) 
P’,(u + v—2a) =R, (9 (wa), Dre a), tua), 995 (v— a)). | 
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. IV: Vol. 1, Impr. ?5/; 1907. 10 
