ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 77 
wo 4 ihr Grad in Bezug auf z ist, und die Coefficienten g(x, , x',) im 
sanzen Bereiche (115) als gewöhnliche Potenzreihen von # darstellbar 
sind. Wie bei früheren Gelegenheiten dürfen wir auch hier annehmen, 
dass die also in der Form: 
JEN (ERF Bw) rt... + PIE 
geschriebene Gleichung (116) im ganzen Bereiche (115) irreductibel 
oder sonst durch eine solche ersetzt worden ist. 
Da diese Gleichung im kleineren Bereiche : |u | € durch 
2 = Pi(w) 
befriedigt ist, so sieht man durch analytische Fortsetzung ein, dass die 
aus P,(w) im ganzen Bereiche (115) sich ergebende analytische Func- 
tionsbestimmung überall daselbst nicht nur dieser Gleichun g Genüge 
leistet, sondern auch von algebraischem Charakter ist. 
Da Pi(w) ein Element von der analytischen Function wv(w) ist 
und da R beliebig gross gewählt werden konnte, so ist also w(u') in 
Jedem endlichen Bereiche von algebraischem Charakter. Dasselbe gilt 
also wegen 
qu) = win — a) 
auch von der Function q(u). 
Durch Ueberlegungen, die den bei den Sätzen VIII und IX be- 
nutzten ganz analog sind, ergiebt sich schliesslich aus der hier gelten- 
den Gleichung (84), dass q(w) auch eindeutig und folglich überall im 
Endlichen von rationalem Charakter ist, w. z. b. w. 
Schlussbemerkung. Man sieht aus den letzten Untersuchungen 
sofort ein, dass der Begriff des abgeleiteten Additionstheorems dahin er- 
weitert werden kann, dass man eine algebraische Gleichung zwischen 
p(u tv), "p(u), q(u)....., qO(u), p(v), (v) ,..., q?(v) ein abgelei- 
tetes Additionstheorem rer Ordnung nennt. 
Für eine analytische Function, die ein solches Additionstheorem 
besitzt, können Resultate, die den obigen ziemlich analog sind, ohne 
Schwierigkeit mit ungefär denselben Hilfsmitteln erhalten werden. 
Ohne auf die Auseinandersetzung dieser Resultate hier näher 
eingehen zu wollen, erlaube ich mir jedoch den folgenden Satz auszu- 
sprechen. 
