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Jede analytische Function g(u), die ein abgeleitetes Addi- 
tionstheorem beliebiger Ordnung besitzt, welches in Bezug 
auf q(u-Fv) vom ersten Grade ist, ist eine überall im 
Endlichen existierende eindeutige Function, die auch über- 
all daselbst den Charakter einer rationalen Function be- 
sitzt. 
In diesem Satze ist offenbar der Satz XXIX als specieller Fall 
enthalten. 
Als Beispiel hiervon führen wir die Function: 
o (at) 
P(e) = fu) 
an, welche das abgeleitete Additionstheorem zweiter Ordnung: 
1 gp) 
Pa v) ccs A Fee 
(117) 
besitzt! und folglich nach dem obigen Satze überall im Endlichen von 
rationalem Charakter ist. 
Da ferner 
q ? (u) + 4p°(u) — gsq (uw) + g = 0 
ist“, so ergiebt sich aus (117) für diese Function g(u) auch ein abge- 
leitetes Additionstheorem erster Ordnung, das jedoch in Bezug auf 
q (c v) von höherem als dem ersten Grade ist. 
Diese Function g(u) ist uns hier von Interesse, weil sie die auf 
der Seite 71 ausgesprochene Behauptung bestätigt, dass man aus dem 
Bestehen eines abgeleiteten Additionstheorems nicht schliessen darf, dass die 
Function ein algebraisches besitzt. Denn wenn diese g(u) ein algebrai- 
sches Additionstheorem besässe, so würde sich daraus (Satz XIX) ergeben, 
dass eine algebraische Gleichung zwischen der nicht periodischen Func- 
tion g(u) und der periodischen q'(u) bestände, was ja offenbar unmög- 
lich ist. 
! Formeln und Lehrsätze, Art. 11, Gleichung (4) und Art. 9, Gleichung (1). 
? Formeln und Lehrsätze, Art. 9, Gleichung (14). 
