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^ (p ^ n -4- 1) convergera vers zéro, et s'évanouira enfin , 

 lorsque n = oc; à celte limite, la formule précédente de- 

 vient 



A*(P) = 2'""" [(p-^'w + i) log (l -+- — '— ] -il 

 ^^' '«=<' L V p-hm/ J 



formule de Gudermann , sur laquelle M. Liouville vient 

 de rappeler l'attention des géomètres {Comptes rendus, 

 t. XXXV, p. 5:20), et qui est, comme on voit, une consé- 

 quence presque immédiate de l'équation ci-dessus rap- 

 portée de M. Binet. 



)) Maintenant, avec MM. Gauss et Liouville, nous défi- 

 nirons la fonction r{x) comme la limite vers laquelle con- 

 verge, pour des valeurs indéfiniment croissantes de k, 

 l'expression 



t. 2. 3 ... /t. A"-' 

 r(x,k) 



a;(a:-+-d) {a;-4-2) ... (a;-4- /£— 1) 



î) On tire de là 



r(x + \,k) = 



X -\- k 



xr (x, k), 



et par suite 



T(x-^i) = xr[x), iogr(x-i-l) — Iogr(a;) = logx, 



en passant à la limite /î=ac ; d'où l'on voit, que log r{x) 

 est une valeur particulière de l'intégrale 2 log x. Il vient 



aussi 



logr(x, A) = log('1.2.3... A) -»- {x—i)\ogk 



— \og[x{x-^i) (x + 2) ... ix-^k—i)]. 



» Mais on a, d'un autre côté, 



