(94) 



» On jiourra développer ces limilos suivant les puis- 

 sances descendantes de p , al p surpasse l'unité, et la 

 différence entre la limite supérieure et l'inférieure sera 



1 1 



24 s 48 3 ' ^^^' ^^^ limites [toutes deux supérieures à 

 i"(p)], obtenues par M. Binet, diffèrent d'une quantité de 

 Yordre de-^, c'est-à-dire que le premier terme du dé- 

 veloppement de leur différence est ^, double du premier 

 terme ^ qui répond à nos limites. (Voy. le Mémoire de 

 M. Binet, p. 228.) 



» J'indiquerai, en finissant, une manière simple d'éta- 

 blir (la définition de M. Gauss étant admise) l'identité 

 de la fonction r{x) avec l'intégrale eulérienne. 



» On a e' > 1 -H <, f désignant un nombre positif, d'où, 

 faisant 



e'= -4-' on tire log 1 < n l-^ -A. 

 ]/x * \\/x } 



On a aussi , lorsque t est un nombre compris entre o et 1 , 

 log - > i — (, et, par suite , log - > m ( 1 — y/x), en 

 faisant t = \/jc. Il s'ensuit que, si p désigne un exposant 

 réel, et x une variable renfermée entre les limites o et 1 , 

 la valeur deflog^]'' ' sera renfermée entre celles des 

 quantités 



nr* /-' \ y^*, et mf-' (1 —y/xy-" 



\Vx I 



m et n étant deux exposants positifs : par conséquent, la 

 valeur de l'intégrale f dx ( log ^ T sera renfermée en- 

 tre les expressions 



^ p dxlJ--\\^-\ nf-' rdx{\-Ç/-x)'^ 





