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vertu de la première transformation 
a" # ab®/ar (+ mr)° 7 
(ab + mar)® 47 gear 
Voilà donc une puissance quelconque du nombre exprimée 
en factorielles à indices infinis et, par conséquent, en pro- 
duits d’un nombre infini de facteurs. Ces facteurs conte- 
nant les nombres b et r, qui sont arbitraires, on voit qu'il 
y à une infinité de manières de transformer en factorielles 
la puissance d’un nombre. Mais il convient, pour bien 
fixer l’ordre de succession des facteurs, d'effectuer une 
modification dans le résultat qui vient d’être obtenu, On 
sait que A4 est égal à (44/7)/47, Le numérateur du ré- 
sultat peut donc s’écrire comme il suit ; 
ab® la L(6 + mr)tr ler, 
ou encore de la manière suivante : 
Lab (b+mr)dr je ler, 
et l’on a, en conséquence, 
um Ibb+ mr)r je ler 
mel Lab + mar) br je ler 
Aiünsi aux facteurs ab, b+ mr, b+ mr +r, b+ mr +92r, 
b+mr+(a—1}r, qui composent une première série 
dans le numérateur, succède une seconde série que l’on 
forme en ajoutant ar à chacun de ces premiers facteurs, 
puis une troisième série qui se déduit de la seconde de 
la même manière, et ainsi de suite à l'infini. 
Soit m — î etb—r; il vient 
He Corte gr 
L(ar + gr) 
par is lar 
