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 En y faisant a = mi, cette équation donne celle-ci : 



lim. [log. [m -I- 1 ) — log. m] = - , 



qui se déduit du reste immédiatement de la comparaison 

 des deux progressions, en y faisant « =- . 



Si l'on y change successivement m en m -+- 1 , wn- 2 ... 

 ma — 1 , et qu'on ajoute ensuite membre à membre les 

 équations résultantes, il vient 



log. a = hm. — -t- H ... H . 



\m m-\-\ m -(- 2 ma — 1/ 



Cette équation, susceptible de nombreuses transforma- 



r 



tions, conduit immédiatement au développement de y/a. 

 En divisant ses deux membres par r, on a 



log. l/S = lim. ( — ^ _^ ... H \ . 



\mr (m-+-l)r (m-+-2)r {ma — \)r j 



mais si l'on pose (,„^7j7=«, la comparaison des pro- 

 gressions précédontes donnera 



-— - = log. ( 1 -+- — ; 



\r-t)r " \ {m-+-î)r/ 



= lOff. (1 H- ) . ; log. I 1 -+- , 1 ... 



mr " \ mrj (wn-l)r " \ (m-+-l)r/ 



(m 



d'où 



Substituant dans la valeur de log. \/a et passant des lo- 

 garithmes aux nombres , il vient 



Và = \\m.\ 1 H 1 I 1 + 



mr I \ (m -+- 1 ) r 



V (m-t- 2) r / 



1-. -^— ); 



[ma — \)rl ' 



