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également pour celles qui ont un élément de plus. On 
déduit de là ce théorème curieux, qu'à partir de n — 4 
« les alternances d'ordre pair et celles d'ordre impair sont 
» en même nombre. » 
Si, au lieu de retrancher les deux sommes, on les avait 
ajoutées entre elles, on aurait obtenu 
2 +Zi=n(1+a+a, +0; +0 +. + ans]... (5) 
Ainsi, la somme des alternances de divers ordres qu'of- 
frent n éléments permutés entre eux est égale à n fois la 
somme analogue prise pour (n — 1) éléments. Ce second 
théorème est évident, puisque le nombre des permutations 
“ 
directes de n éléments est égal à n fois le nombre des 
permutations directes de (n — 1) éléments. 
(HI). Comme il arrive fréquemment , dans la discussion 
des phénomènes naturels, que l’on a à considérer des 
courbes n'offrant qu’une ou deux ondulations, il est utile 
de savoir calculer directement, et sans passer par les 
valeurs intermédiaires, le nombre des alternances du pre- 
mier et du deuxième ordre que présentent les permuta- 
tions directes de n grandeurs. Pour résoudre ce problème 
reprenons la relation 
A,—=9 + 2a,; elle donne successivement 
M pour n— 3... A; —92 
4, AM = +92 
Bu N=9+d 4 
tn + "ES... 423=20—00..., (4) 
Tel est le nombre d’alternances du premier ordre qu'of- 
rent les permutations de n éléments. 
