Intégration d'un système de cinq équations aux dérivées 
partielles, qui se présente dans la transformation de plu- 
sieurs problèmes de géométrie et de physique mathémati- 
que; par M. Ign. Carbonnelle. 
Dans un mémoire publié en 1847 (1), M. Liouville a 
exposé les propriétés remarquables d’une transformation 
qu'il nomme Transformation par rayons vecteurs récipro- 
ques. Dans ses leçons au collége de France, en 1855, le 
savant professeur a donné une exposition simplifiée de cette 
théorie, pour montrer comment elle peut désormais faire 
partie des éléments. On concevra facilement l'importance 
de cette transformation, en voyant dans le mémoire cité 
quelques-unes de ses applications à la géométrie et à la 
physique mathématique. Ces propriétés tiennent à ce que 
les fonctions &, n, 6, que l’on substitue aux variables x, 
y, 3, et qui expriment les coordonnées du point corres- 
pondant au point (æ, y, 3), vérifient l'équation 
(œ'—2 + (y y +(z 2) 
CEE + (1 — 0) + (80) = ==. 
pp 
? 
dans laquelle p représente une fonction de x, y, zx, conve- 
nablement choisie, x’, y’, z’, les coordonnées d’un second 
point quelconque, et £’, »', &’, p', ce que deviennent les 
fonctions, 1, 6, 4, quand on y remplace x, y,z, paræ’,y', 3". 
C’est pourquoi M. Liouville commence par rechercher la 
forme la plus générale des fonctions &, 7, 6, qui vérifient 
cette équation, et il trouve que la transformation corres- \ 
(1) Journal de mathématiques pures et appliquées, t. XII, p. 265. 
