( 653 ) 
pondante n’est qu'une combinaison de la transformation 
par rayons vecleurs :éciproques avec des changements de 
coordonnées, ou, si l’on veut, avec des mouvements de 
translation qui n’altèrent pas la forme des surfaces que l’on 
veut transformer. 
Je résous dans cette note un problème analogue, et j'ar- 
rive à un résultat semblable, qui renferme une nouvelle 
démonstration du résultat trouvé par M. Liouville. Au lieu 
de considérer dans l'équation précédente les différeuces 
L'—%,y—7Y,3— 3%, Comme pouvant recevoir des valeurs 
finies quelconques, je prends ces différences infiniment 
petites, et je cherche la forme la plus générale des fonc- 
tions Ë, », 6. Il est aisé de voir à priori que la transforma- 
tion correspondante aura un grand nombre de propriétés 
communes avec la transformation par rayons vecteurs ré- 
ciproques, qu'elle doit renfermer comme cas particulier. 
Mais de plus, l'intégration nous apprendra que le cas par- 
ticulier équivaut encore ici au résultat le plus général, et 
que tout se réduit encore à une combinaison de la transfor- 
mation par rayons vecteurs réciproques avec de simples 
mouvements de translation. Ce résultat est d'autant plus 
remarquable que le problème correspondant dans les deux 
dimensions, admet un nombre incomparablement plus 
grand de solutions. En d’autres termes, lorsqu'on ne con- 
sidère que deux variables indépendantes, les formules in- 
tégrales renferment des fonctions arbitraires, tandis que 
pour trois invariables, ces formules n’ont d’arbitraires que 
dix constantes; et en général, pour n variables indépen- 
dantes, les équations intégrales renferment (n + 1)° con- 
J. Dai: enqqytrs 
stantes, dont n° seront liées par * +1) équations, de sorte 
2 
1 1 9 fn}. 
qu'il reste "UE arbitraires. 
Remplaçons donc dans l'équation citée plus haut, les 
