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 tré que x et y étant des fonctions de t et de u, et faisant 

 dx=^dt H- Srfw; dy=Tdt -^Udu, la valeur deffZdxdy , 

 étendue à toutes les valeurs possibles de j:; et de y, était 

 égale ày^Z(RU — ST) dldu, également étendue à toutes les 

 valeurs possibles de t et de u. Mais cet illustre géomètre 

 n'a pas manqué de faire remarquer que cette égalité ne 

 s'appliquait qu'aux valeurs absolues des intégrales. Et réel- 

 lement, voici comment on peut se convaincre que le signe 

 de la double intégrale j^Z (RU — ST) dklu doit rester in- 

 déterminé. Soient t' et t", u' et u" les valeurs extrêmes de 

 t et de u. Si les équations x=F{t,ii); y = f{t, u) suffi- 

 sent pour déterminer ces valeurs extrêmes, pourvu que 

 l'on connaisse les valeurs extrêmes de a? et de y , elles ne 

 suffisent pas pour décider du sens dans lequel il faut inté- 

 grer, c'est-à-dire, par exemple, s'il faut intégrer de t' jus- 

 qu'à t" , ou de <" jusqu'à t'. Or, puisqu'on a 



i" t' 



f '^t. dt= — f a. dt , 



il est évident que les équations x--=F{t, u);y = f{l , u) ne 

 suffisent pas pourdéterminer lesignedey^Z(RU-ST)d((fM, 

 et qu'on doit poser 



JJZdxdij = d=jfyZ(RU — ST) d<dw. 



M. Plana , faisant usage du théorème d'Euler , transforme 

 la double intégrale 



en celte autre 



I , 



-I a" = l . 



