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De plus , à la page 509 de son Traité des prohubililés (édit. 

 4847), Laplace observe qu'on peut obtenir directement ce 

 théorème inverse, en considérant p comme une variable 

 qui peut s'étendre depuis zéro jusqu'à l'unité, et en déter- 

 minant, d'après les événements observés , la probabilité de 

 ces diverses valeurs. C'est la démonstration directe du 

 théorème inverse de Bernouilli, faite dans cette vue de 

 I.aplace, qui est l'objet de ma note. 



THÉORÈME. 



X, , x^ , étant les probabilités inconnues des deux événe- 

 ments contraires A,, A^,, si, après un très-grand nombre 

 ^ = m,-i-m., d'épreuves, l'événement A, arrive m, fois, 

 l'événement A,, m, fois, il y aura la probabilité 





•y 

 e-''dt, 



m \/'2{/j. — m,)m, 



que X, est compris entre —i- ± y ' — ja > « moins 



de quantités près de l'ordre - 



M 



Démonstration. — Les probabilités simples étant liées 

 par la relation Xi-^ x^ = i,\\ n'y aura qu'une seule variable 

 indépendante, telle que a::,. La probabilité que les deux évé- 

 nements arrivent respectivement m, , m^ fois dans un très- 

 grand nombre /:>i = m, h- m^ d'épreuves, et dans un ordre 

 quelconque, est exprimée par la fonction 



dans laquelle on a 



ku = kx, ' X, ' 



*= "■• 



m,' niA 



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