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équation et qui naissent du changement de valeur des para- 

 mètres. Le calcul différentiel, par lequel on peut exprimer les 

 dérivées successives de l'ordonnée d'une courbe, est très-propre 

 à faire connaître l'existence et l'espèce des points singuliers, 

 à en fixer le nombre, et à faire découvrir les limites de la courbe 

 dans le sens des axes des coordonnées. Par la résolution de 

 l'équation par rapport à l'ordonnée de la courbe, et par l'em- 

 ploi du calcul différentiel, on pourra acquérir une connaissance 

 parfaite de la forme et de la nature du lieu géométrique, et 

 })réparer par là le chemin qui doit conduire à la découverte 

 des autres propriétés. 



La discussion des équations des lieux géométriques est donc 

 une des parties essentielles et, peut-être, une des parties les 

 moins faciles de la théorie des lignes courbes. Aussi doit- on 

 recrarder la seconde partie de la question proposée comme ren- 

 fermant la véritajjle difficulté du problème. L'Académie jugera 

 jusqu'à quel point nous avons rempli les conditions qu'elle est 

 en droit d'exiger. 



§ IL application des considérations précédentes ci Péquation 

 générale des sections annulaires. 



L'équation (3) [voyez § IV, leie partie] étant du nombre de 

 celles qu'on peut résoudre comme les équations du second de- 

 oré nous commencerons par exprimer les ordonnées des di- 

 verses branches de la courbe en fonctions explicites de l'ab- 

 scisse. Nous donnerons ensuite les valeurs générales des dérivées 

 premières et secondes de ces fonctions, dérivées qui nous ser- 

 viront à la détermination des points singuliers et des limites 



