SUR LES SECTIONS ANNULAIRES. 27 



Le dernier terme de cette équation étant négatif, elle aura 

 nécessairement deux racines réelles, dont l'une sera positive 

 et l'autre négative. Mais s'il arrive que les quatre racines soient 

 réelles, il est aisé de s'assurer qu'alors la courbe doit présenter 

 deux inflexions dans sa partie (jj. En effet, la formule (F) 



donnant toujours une valeur négative pour y,-j^ , il est clair 



et ce 



que (y,) doit tourner sa concavité vers l'axe des x dans toute 

 son étendue; et que, par conséquent, cette branche n'aura 

 d'autres points singuliers qu'un maximum de l'ordonnée. C'est 

 donc (7,) qui doit contenir tous les autres points singuliers. 

 Or, si dans cette branche il existe trois points pour lesquels 



°" ^'r^'~^' ^^ ^^^* nécessairement qu'il y ait deux inflexions. 



Pour mieux éclaircir ce qui précède, supposons que le plan 

 coupant passe par le centre de la surface. Nous aurons alors 

 a=o , et l'équation (N) se réduira à 



5^+^HR'^cos.''e— R0=o. 



On a d^abord deux valeurs de s égales à zéro; ensuite, 



5 = rt:V/K^ — R'^cos.^e 



''~^^—- V z;-7ft— R"cos.= 6 



COS. '9 



Maintenant si l'on a, R'cos.-Ô<R, n'oubhant point que l'on 

 doit aussi avoir la condition R'cos.e>R, comme il résulte de 

 l'inégahté (I) donnée à la fin du § IX ; il est clair que les quatre 



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