24 SUR LE MOUVEMENT 



ou bien 4 sin.— cos.— Sz. X^ = — 7îX„_,cos.v7: , en faisant 

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les réductions dans le second membre. Mais il est facile de voir 



vx ,.v7r vx .vx 



aue X«_i = — sm. — > cos.vx, et cfue 4sin. — cos. — =:2sm. — 

 par conséquent , on trouvera Sz /.X^, = - cos. ' v x = - à cause que 



est nécessairement un nombre entier. 



12. En réunissant les résultats auxquels nous sommes par- 

 venus dans les deux articles précédens, nous pouvons affirmer 



que la fonction S sm. \l — sm. ]}. — est toujours égale a zéro , 



tant que v'etv sont des nombres entiers quelconques, moindres 

 que n, et inégaux; mais si v'=:v, alors cette fonction devient 



=-. Ces propriétés des fonctions trigonométriques sont con- 

 nues depuis long-temps , et elles ont été démontrées par les plus 

 célèbres géomètres. Mais la manière par laquelle nous venons 

 de les démontrer, est très-générale et s'applique à une infinité 

 d'autres fonctions , autres que les trigonométriques ; fonctions 

 qui ont cependant beaucoup d'analogie avec ces lignes, mais 

 qui sont définies par des équations plus compliquées que 

 l'équation (5) , la seule qui nous ait servi aux démonstrations 

 que nous venons de donner. 



D'après ces propriétés, il est clair que si on développait le 

 second membre de l'équation (19), en donnant successivement 

 à V toutes ses valeurs , et en prenant pour z^ la fonction 



sin. [X— , tous les termes , à l'exception de celui qui est multipliépar 



Th 



