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que X, sera une fonction différente de sin. ia, et qu'il est pos. 

 sible que cette fonction X, soit définie par une équation diffé- 

 rentielle, Vice-versà si la fonction X, était définie par une équa- 

 tion différente de l'équation (7), la courbe LQRS ne serait 

 plus une circonférence de cercle, mais une autre courbe fer- 

 mée. Supposons pour un moment que la courbe LQRS soit 

 telle que la fonction X, satisfasse à l'équation {5g), et que la 

 constante h soit une certaine fonction de la longueur OP,; il est 

 visible que pouvant prendre n valeurs différentes pour O P, , 

 il y aura nécessairement n valeurs pour h qui toutes auront 

 la propriété de rendre nulle la fonction X„. Mais la difficulté se 

 réduit à déterminer la nature de la courbe LQRS pour laquelle 

 on aurait M, P, = X,= à l'intégrale de l'équation {5g). Si l'on 

 pouvait assigner cette courbe par une équation algébrique, on 

 pourrait déterminer , par des comparaisons, la nature de la 

 fonction que h représente ; et l'on aurait sur-le-cbamp, par 

 une simple construction , toutes les racines de l'équation 

 Xrt+ I = 0. 



32. D'après ce qui précède on voit que la fonction X, don- 

 née par Féquation {5g) a beaucoup d'analogie avec les lignes 

 trigonométriques ; et que les racines de l'équation algébrique 

 X„+, = o dont le degré est n, ou bien, que les valeurs de ^• 

 qui satisfont à Téquation (61), dépendent de la division, en 

 parties égales, de la moitié de la circonférence d'une certaine 

 courbe rentrante dont la nature nous est encore inconnue. On 

 voit de plus que toutes ces racines doivent être nécessairement 

 réelles, puisque la division de l'arc de la courbe est toujours 

 possible. Mais lors même que l'on aurait la fonction X, expri- 

 mée sous forme finie, et que l'on pourrait tracer facilement la 



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