INTÉGRALES EULÉRIENNES. \i 



Mais puisque les termes de la suite 



log. r log. 2 log. 3 log. l 



^ j,S.»' ~^ gSm' "*" J!!»' "* ^2,»' "^ etc.... 



vont en décroissant, on aura évidemment 



log. r 2 log. 2 2- log. 2* 2' log. ¥ 2""'-' log. 2 log. 2 



j.2(»' ^ 22"»' 2*'«' g**'"' '" laiin—i i\i ^ £)2m'-2 1 ' 



donc aussi 



2m'— 1 I I loi;. 2 



2Ta 2(2hj'— 1) 12(2m'— 1)- ^^"'~-- _ [ 

 Si l'on fait maintenant ""'^^ = j^^g^, on aura à plus forte raison 

 ^ J_ ^ 1_ log. 2 J l J_/ J3_ 4Ta log. 2 



à cause de m' >7ra+^, la quantité 1 — ^ — IZ'-^l^i est évidemment 



1 1 



positive tant que a > 1 ; on a donc x < — — jp^_ et à plus forte raison 



^ < âïirr^ d'où l'on peut conclure ^"^^ < '~^, ou m' < «i + 1. On 

 est donc certain que n est compris entre m et na + 1 , chaque fois que a 

 n'est pas moindre que l'unité. 



Il résulte de ce qui précède, que si m est moindre que ?:« + 1 , on aura 



et par suite (8) 



1 r ^"'^^lo- ^ , r(2m-l)A.„ ,. 



^ t/ 1 + X* 1 — e*''^"^ " asm— 1 ' 



d'où il suit que si l'on prend approximativement 



(12). log.r(1 + a) = îlog.2Ta + a(log.a-1)+^' _ ^-^^ + .... _ (-^)-^ '^< ^"'~')^^'- . 



m étant plus petit que m-\-i, l'erreur sera moindre que la moitié du der- 

 nier terme. 



