SUR LA CONVERGENCE 



CERTAINE CLASSE DE SÉRIES. 



Un des plus beaux théorèmes dont M. Cauchy a enrichi l'analyse, est 

 celui qui a rapport à la convergence des séries de Taylor et de Maclaurin , 

 et d'après lequel toute fonction est développable en une série convergente 

 ordonnée par rapport aux puissances ascendantes et entières de la varia- 

 ble, tant que son module est moindre que la plus petite des valeurs pour 

 lesquelles la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie et continue. Après 

 les formules de Taylor et de Maclaurin, une des plus importantes est 

 celle qu'Euler a donnée dans son Traité du calcul dilfcrentiel , pour le calcul 

 numérique des intégrales définies ; je veux parler de la formule 



/■(■"^i = IJ^tv^) ''-^^ - î /■(■'■) + B, r (.r) 7^ - B= /"" (■'■) 



1 .2.5.4 



les coefficients B, , B3 .... désignant les nombres bernoulliens et f',l}^ la 

 dérivée de l'ordre if de la fonction f(x). 



La plupart des séries que fournit cette formule sont du genre de celles 

 que Legendre a nommées scties demi-convenjcntcs , c'esl-à-dii'e qui ne sont 

 convergentes que dans leurs premiers termes; mais qui oiïrent cette par- 

 ticularité remarquable d'être néanmoins propres au calcul des fonctions 

 dont elles sont les développements, sans cependant pouvoir en donner, 

 comme les séries convergentes, des valeurs aussi rapprochées que l'on 

 voudra. La détermination des limites de l'erreur que l'on connnel en ar- 

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